<aside> 💡 적률생성함수는 확률통계학에서 매우 중요하게 다루는 이론 중 하나이다.

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1. 적률(모멘트 moment)이란?

<aside> 💡 최대가능도추정은 얻어진 데이터를 토대로 그 확률변수의 모수를 구하는 방법이다. 어떤 모수가 주어졌을 때, 원하는 값들이 나올 가능도함수를 최대로 만드는 모수를 선택하는 방법이다.

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물리학에서의 모멘트는 어떤 물리량과 거리의 곱을 얘기한다. 여기서 거리는 어떤 기준점에서 물리량 사이의 거리를 의미한다. 예를 들어 힘에 대한 모멘트를 토크(torque)라고 하는데 토크는 힘 X 거리가 되는 것이다.

이 거리는 물리량의 분포를 보여준다.

2. 가능도함수(likelihood function)

우리가 데이터를 요약할 때 평균이나 분산과 같은 여러가지 통계량을 사용하는데요. 가능도함수(likelihood function) 또한 데이터를 요약하는 데 사용됩니다. 가능도는 영어로 likelihood라고 하는데요. 보통 ‘그럴듯한’이라는 의미로 쓰입니다. 따라서 가능도함수를 쉽게 생각하면 ‘그럴듯한 함수’라고 생각하면 되겠네요. 그러면 무엇이 그럴듯할까요?

3. 가능도함수 정의

확률변수 X=(X1,X2,…,Xn)의 확률밀도함수를 f(x|θ)라고 하겠습니다. 그리고 X=x가 주어졌을때, 가능도함수는 아래와 같이 정의 됩니다.

$L_\theta(x) = f_\theta(x)$

가능도함수는 모수가 θ일 때, 주어진 표본 x가 얻어질 확률을 의미합니다. 이 때, 가능도함수는 θ의 함수입니다. 주의하셔야 할 것은 x의 함수가 아니라는 것이죠. 왜일까요? x는 확률변수니까 가능도함수 또한 x의 함수여야 하지 않을까요? 가능도함수 식 바로 윗 문장을 보시면 X=x가 주어졌다고 나와있습니다.

즉, 확률변수 X는 주어졌으니(given) 더 이상 변수가 아닌거죠. 따라서 가능도함수에서 x는 정해졌으니 상수취급하는것이고 θ값에 의해서만 가능도함수가 달라지니 가능도함수는 θ의 함수라고 할 수 있습니다.